Question

如图，抛物线y=-[（x-2）²+n]与x轴交于点A（m-2，0）和B（2m+3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结BC．

（1）求m、n的值；

（2）如图，点N为抛物线上的一动点，且位于直线BC上方，连接CN、BN．求△NBC面积的最大值；

（3）如图，点M、P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM、PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形，△PMB为直角三角形同时成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）m=1；n=-9；（2）最大值为；（3）存在，P点坐标为（，0）或（，0）．

【解析】

（1）利用抛物线的解析式确定对称轴为直线x=2，再利用对称性得到2-（m-2）=2m+3-2，解方程可得m的值，从而得到A（-1，0），B（5，0），然后把A点坐标代入y=- [（x-2）2+n]可求出n的值；

（2）作ND∥y轴交BC于D，如图2，利用抛物线解析式确定C（0，3），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+3，设N（x，-x2+x+3），则D（x，-x+3），根据三角形面积公式，利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=-x2+x，然后利用二次函数的性质求解；

（3）先利用勾股定理计算出BC=，再分类讨论：当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC为等腰直角三角形，MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=-t，证明△BMP∽△BOC，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标；当∠MPB=90°，则MP=MC，设PM=t，则CM=t，MB=-t，证明△BMP∽△BCO，利用相似比可求出BP的长，再计算OP后可得到P点坐标．

（1）∵抛物线的解析式为y=- [（x-2）2+n]=- （x-2）2-n，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

∵点A和点B为对称点，

∴2-（m-2）=2m+3-2，解得m=1，

∴A（-1，0），B（5，0），

把A（-1，0）代入y=- [（x-2）2+n]得9+n=0，解得n=-9；

（2）作ND∥y轴交BC于D，如图2，

抛物线解析式为y=- [（x-2）2-9]=-x2+x+3，

当x=0时，y=3，则C（0，3），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（5，0），C（0，3）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=-x+3，

设N（x，-x2+x+3），则D（x，-x+3），

∴ND=-x2+x+3-（-x+3）=-x2+3x，

∴S△NBC=S△NDC+S△NDB=×5×ND=-x2+x=-（x-）2+，

当x=时，△NBC面积最大，最大值为；

（3）存在．

∵B（5，0），C（0，3），

∴BC=，

当∠PMB=90°，则∠PMC=90°，△PMC为等腰直角三角形，MP=MC，

设PM=t，则CM=t，MB=-t，

∵∠MBP=∠OBC，

∴△BMP∽△BOC，

∴，即 ，解得t=，BP=，

∴OP=OB-BP=5-=，

此时P点坐标为（，0）；

当∠MPB=90°，则MP=MC，

设PM=t，则CM=t，MB=-t，

∵∠MBP=∠CBO，

∴△BMP∽△BCO，

∴，即，解得t=，BP=，

∴OP=OB-BP=5-=，

此时P点坐标为（，0）；

综上所述，P点坐标为（，0）或（，0）．