Question

如图，在ABC中，ACB=90°,D是AC的中点，DEAC，AE//BD.

(1)证明：ADE DCB；

(2)连接BE，判断四边形BCDE的形状，并证明；

(3)若BC=4，AE=5，求四边形ACBE的周长.

Answer

（1）证明见解析；（2）矩形，证明见解析；（3）18.

【解析】

（1）由平行线的性质得出∠CDB=∠DAE，求出∠C=∠ADE=90°，AD=DC，由ASA证明△ADE≌△DCB即可；

（2）由全等三角形的性质得出DE=BC=4，BD=AE=5，再证出DE∥BC，得出四边形BCDE是平行四边形，即可得出结论；

（3）根据勾股定理求出CD，得出AD，由矩形的性质得出BE=CD，即可得出结果．

（1）证明：∵AE∥BD，

∴∠CDB=∠DAE，

∵∠ACB=90°，DE⊥AC，

∴∠C=∠ADE=90°，

∴DE∥BC，

∵D为AC中点，

∴AD=CD，

在△ADE和△DCB中，

，

∴△ADE≌△DCB（ASA）；

（2）四边形BCDE是矩形；理由如下：

由（1）得：△ADE≌△DCB，

∴DE=BC=4，BD=AE=5，

又∵∠ACB=90°，DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∴四边形BCDE是矩形；

（3）在Rt△DCB中，BC=4，BD=5，

由勾股定理得：CD==3，

∴AD=CD=3，

∵四边形BCDE是矩形，

∴CD=BE=3，

∴四边形ACBE的周长是AC+BC+BE+AE=3+3+4+3+5=18．