Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC，AB的延长线于点E，F.

(1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)设AC=x，AF=y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；

(3)若BF=2，，求AD的长.

Answer

(1)证明见解析；(2)；(3)AD=.

【解析】

(1)连接OD，通过AB为直径和平行线证∠E=∠ACB=90°，再通过角平分线和半径相等，证出∠ODA＝∠EAD，进而得到EA∥OD，根据两直线平行，同位角相等得出∠ODF＝∠E＝90°，进而证出EF是⊙O的切线．

（2）连接CD.通过平行线及同弧所对的圆周角相等得出两对角相等，证明△FAD∽△DAC，得出比例式代入数值即可.

(3)设⊙O半径为r．在Rt△DOF中和Rt△ABC中，，根据，求得r＝1．

再根据，求得AC的长，再求得AF的长，代入（2）中结论即可求出AD的长.

(1)连接OD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°．

∵EF∥CB，

∴∠E＝∠ACB＝90°．

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA．

又∠OAD＝∠EAD，

∴∠ODA＝∠EAD．

∴EA∥OD．

∴∠ODF＝∠E＝90°．

∴EF是⊙O的切线．

(2)连接CD．

∵EF∥BC，

∴∠ABC＝∠F．

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠F＝∠ADC．

∵∠DAF＝∠CAD，

∴△FAD∽△DAC．

∴．

∴AD2＝FA·CA＝xy．

即．

(3)设⊙O半径为r．

Rt△DOF中，，即．解得r＝1．

Rt△ABC中，，即．

∴AC＝．

又AF＝1＋1＋2＝4，

由(2)知．