Question

“才饮长沙水，又食武昌鱼”.因一代伟人毛泽东的佳句，“鄂州武昌鱼”名扬天下.某网店专门销售某种品牌真空包装的武昌鱼熟食产品，成本为30元/盒，每天销售y(盒)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)如果规定每天这种武昌鱼熟食产品的销售量不低于240盒，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3 600元，试确定这种武昌鱼熟食产品销售单价的范围．

Answer

(1)y＝－10x＋700；(2)销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；(3)45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．

【解析】

（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．

(1)设y与x的关系式是，由题意得

，解得．

故y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋700

(2)由题意，得－10x＋700≥240．解得x≤46．

设利润为W＝(x－30)•y＝(x－30)(－10x＋700)

＝－10x2＋1 000x－21 000＝－10(x－50)2＋4 000．

∵－10＜0，

∴x＜50时，W随x的增大而增大．

∴x＝46时，W最大值＝－10(46－50)2＋4000＝3840．

答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；

(3)W－150＝－10x2＋1 000x－21000－150＝3600．

－10(x－50)2＝－250．

x－50＝±5．

x1＝55，x2＝45．

如图所示，由图象得，

当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．