Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；

（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

(1) 抛物线的解析式为y=x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是，点P（﹣，﹣）；(3) Q（3，1）.

【解析】

(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m，m2−2m＋1)，根据S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC，把S四边形AECP用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.

(1)将A(0，1)，B(9，10)代入函数解析式得：

×81＋9b＋c＝10，c＝1，解得b＝−2c＝1，

所以抛物线的解析式y＝x2−2x＋1；

(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，

∴x2−2x＋1＝1，解得x1＝6，x2＝0(舍)，即C点坐标为(6，1)，

∵点A(0，1)，点B(9，10)，

∴直线AB的解析式为y＝x＋1，设P(m，m2−2m＋1)，∴E(m，m＋1)，

∴PE＝m＋1−(m2−2m＋1)＝−m2＋3m.

∵AC⊥PE，AC＝6，

∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC⋅EF＋AC⋅PF

＝AC⋅(EF＋PF)＝AC⋅EP

＝×6(−m2＋3m)＝−m2＋9m.

∵0