Question

如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长是______．

Answer

【解析】

作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：MK＝FK＝1，NP＝3，PF＝2，利用勾股定理可得MN的长．

过M作MK⊥CD于K，过N作NP⊥CD于P，过M作MH⊥PN于H，

则MK∥EF∥NP，

∵∠MKP＝∠MHP＝∠HPK＝90°，

∴四边形MHPK是矩形，

∴MK＝PH，MH＝KP，

∵NP∥EF，N是EC的中点，

∴

∴PF＝FC＝BE＝2，NP＝EF＝3，

同理得：FK＝DK＝1，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BDC＝45°，

∴△MKD是等腰直角三角形，

∴MK＝DK＝1，NH＝NP﹣HP＝3﹣1＝2，

∴MH＝2+1＝3，

在Rt△MNH中，由勾股定理得：MN＝

故答案为：．