Question

如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点P，过A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连接PA、PB．

(1)求证：AP平分∠CAB；

(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则

①当弦AP的长是_____时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；

②当的长度是______时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．

Answer

(1)证明见解析；(2)①2；②π或π．

【解析】

(1)利用切线的性质得OP⊥PC，再证明AC∥OP得到∠1＝∠3，加上∠2＝∠3，所以∠1＝∠2；

(2)①当∠AOP＝90°，根据正方形的判定方法得到四边形AOPC为正方形，从而得到AP＝2；

②根据菱形的判定方法，当AD＝AP＝OP＝OD时，四边形ADOP为菱形，所以△AOP和△AOD为等边三角形，然后根据弧长公式计算的长度．当AD＝DP＝PO＝OA时，四边形ADPO为菱形，△AOD和△DOP为等边三角形，则∠AOP＝120°，根据弧长公式计算的长度．

(1)∵PC切⊙O于点P，

∴OP⊥PC，

∵AC⊥PC，

∴AC∥OP，

∴∠1＝∠3，

∵OP＝OA，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠2，

∴AP平分∠CAB；

(2)①当∠AOP＝90°，四边形AOPC为矩形，而OA＝OP，此时矩形AOPC为正方形，

AP＝OP＝2；

②当AD＝AP＝OP＝OD时，四边形ADOP为菱形，△AOP和△AOD为等边三角形，则∠AOP＝60°，的长度＝=π．

当AD＝DP＝PO＝OA时，四边形ADPO为菱形，△AOD和△DOP为等边三角形，则∠AOP＝120°，的长度＝．

故答案为2；π或π．