Question

已知抛物线y＝﹣x²﹣x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．

(1)求直线AC的解析式；

(2)如图，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP面积最大时，求|PM﹣OM|的值．

(3)如图，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) y＝x+2；(2) 点M坐标为（﹣2，）时，四边形AOCP的面积最大，此时|PM﹣OM|有最大值； (3)存在，D′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（，）．

【解析】

（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，求出点A、B、C坐标，即可求解；

（2）连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，即可求解；

（3）存在；分①A′D′⊥A′E；②A′D′⊥ED′；③ED′⊥A′E三种情况利用勾股定理列方程求解即可．

（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，2），函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，），C点坐标为（0，2），则过点C的直线表达式为：y＝kx+2，将点A坐标代入上式，解得：k，则：直线AC的表达式为：yx+2；

（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H．

四边形AOCP面积＝△AOC的面积+△ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ACP的面积最大即可，设点P坐标为（m，m2m+2），则点G坐标为（m，m+2），S△ACPPG•OA•（m2m+2m﹣2）•6m2﹣3m，当m＝﹣3时，上式取得最大值，则点P坐标为（﹣3，）．连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，直线OP的表达式为：yx，当x＝﹣2时，y，即：点M坐标为（﹣2，），|PM﹣OM|的最大值为：=．

（3）存在．

∵AE＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，∴△EAM≌△DCM（AAS），∴EM＝DM，AM＝MC，设：EM＝a，则：MC＝6﹣a．在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝DC2+MD2，即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a，则：MC，过点D作x轴的垂线交x轴于点N，交EC于点H．在Rt△DMC中，DH•MCMD•DC，即：DH2，则：DH，HC，即：点D的坐标为（）；

设：△ACD沿着直线AC平移了m个单位，则：点A′坐标（﹣6），点D′坐标为（），而点E坐标为（﹣6，2），则==36，==，==．若△A′ED′为直角三角形，分三种情况讨论：

①当+=时，36+=，解得：m=，此时D′（）为（0，4）；

②当+=时，36+=，解得：m=，此时D′（）为（－6，2）；

③当+=时，+=36，解得：m=或m=，此时D′（）为（－6，2）或（，）．

综上所述：D坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（，）．