Question

如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（　　）

A. ∠ABC＝60° B. S_△ABE＝2S_△ADE

C. 若AB＝4，则BE＝ D. sin∠CBE＝

Answer

C

【解析】

由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE得到S△ABE=2S△ADE；作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，则可计算出CH=CE=1，EH=CH=，利用勾股定理可计算出BE=2 ；利用正弦的定义得sin∠CBE=．

【解析】
由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，CE=DE，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=2DE，
∴∠DAE=30°，∠D=60°，
∴∠ABC=60°，所以A选项的说法正确；
∵AB=2DE，
∴S△ABE=2S△ADE，所以B选项的说法正确；
作EH⊥BC于H，如图，若AB=4，

在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，
∴CH=CE=1，EH=CH=，
在Rt△BEH中，BE=，所以C选项的说法错误；
sin∠CBE=，所以D选项的说法正确．
故选：C．