Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，弦BD＝BA，EB⊥DC，交DC的延长线于点E．

（1）求证：BE是⊙O的切线；

 （2）当sin∠BCE＝，AB＝3时，求AD的长．

Answer

（1）见解析；（2）AD＝

【解析】

（1）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断BE⊥OB，可得出结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ABC=90°，根据余角的性质得到∠ACB=∠BCE，求得AC=4，根据勾股定理得到BE=，根据相似三角形的性质得到CE=，根据勾股定理即可得到结论．

（1）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，，

∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO＝∠ABO，∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC，

∴∠DBO＝∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴BE是⊙O的切线；

（2）∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵BE⊥DE，∴∠E＝90°，

∴∠OBC+∠CBE＝∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠EBC，∴∠ACB＝∠BCE，

∵sin∠BCE＝，∴sin∠ACB＝，∵AB＝3，∴AC＝4，∵∠BDE＝∠BAC，

∴sin∠DBE＝，∵BD＝AB＝3，∴DE＝，∴BE＝，

∵∠CBE＝∠BAC＝∠BDC，∠E＝∠E，∴△BDE∽△CBE，∴，

∴CE＝，∴CD＝，∴AD＝．