Question

如图，一次函数y=kx+b的图象分别与x轴，y轴的正半轴分別交于点A，B，AB=2，∠OAB=45°

（1）求一次函数的解析式；

（2）如果在第二象限内有一点C(a，)；试用含有a的代数式表示四边形ABCO的面积，并求出当△ABC的面积与△ABO的面积相等时a的值；

（3）在x轴上，是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）一次函数解析式为 y= -x+2 （2）a＝− （3）存在，满足条件的点P的坐标为（0，0）或（2−2，0）或（2+2，0）或（-2，0）．

【解析】

（1）根据勾股定理求出A、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据S四边形ABCD=S△AOB+S△BOC计算即可，列出方程即可求出a的值；
（3）分三种情形讨论即可解决问题；

（1）在 Rt△ABO中，∠OAB=45°，
∴∠OBA=∠OAB-∠OAB=90°-45°=45°
∴∠OBA=∠OAB
∴OA=OB
∴OB2+OA2=AB2即：2OB2=（2）2，
∴OB=OA=2
∴点A（2，0），B（0，2）．
∴

解得：

∴一次函数解析式为 y= -x+2．
（2）如图，
∵S△AOB=×2×2=2，S△BOC=×2×|a|= -a，
∴S四边形ABCD=S△AOB+S△BOC=2-a，
∵S△ABC=S四边形ABCO-S△AOC=2-a-×2×=-a，
当△ABC的面积与△ABO面积相等时，−a＝2，解得a＝−．

（3）在x轴上，存在点P，使△PAB为等腰三角形
①当PA=PB时，P（0，0），
②当BP=BA时，P（-2，0），
③当AB=AP时，P（2-2，0）或（2+2，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，0）或（2−2，0）或（2+2，0）或（-2，0）．