Question

如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点，弦平分，交点，连接.

（1）求证：平分；

（2）求证：；

（3）若，，求线段的长.

Answer

（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（2）24．

【解析】

试题（1）先证OC∥AD，得到∠ACO＝∠DAC．由OC＝OA，得到∠ACO＝∠CAO，故有∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB；

（2）由AD⊥PD，得到∠DAC＋∠ACD＝90°，又AB为⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，故∠PCB＋∠ACD＝90°，从而有∠DAC＝∠PCB，又∠DAC＝∠CAO，得到∠CAO＝∠PCB，由CE平分∠ACB，得到∠ACF＝∠BCF，故有∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，从而∠PFC＝∠PCF，故PC＝PF；

（3）易证∠△PAC∽△PCB，得到．又tan∠ABC＝，得到，故．设，，则，由勾股定理有，得到，求出k的值．从而求出PC的长．

试题解析：（1）∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD．又AD⊥PD，∴OC∥AD．∴∠ACO＝∠DAC．又OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB．

（2）∵AD⊥PD，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，又AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠PCB＋∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠PCB，又∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB，∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF；

（3）∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB，∴．又tan∠ABC＝，∴，∴．设，，则在Rt△POC中，，∵AB=14，∴，∵，∴，∴k＝6（k＝0不合题意，舍去）．∴．