Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；

（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．

Answer

（1）C（0，-4）．（2）存在．点E的坐标为（-，0）或（-，0）或（-1，0）或（7，0）．（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（-，-）．

【解析】

试题（1）将A，B点坐标代入函数y=x2+bx+c中，求得b、c，进而可求解析式及C坐标．

（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标．

（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示．

试题解析：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（-1，0），

∴，解得，

∴y=x2-x-4．

∴C（0，-4）．

（2）存在．

如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，

∵A（3，0），B（-1，0），C（0，-4），O（0，0），

∴AB=4，OA=3，OC=4，

∴AC==5，

∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，

∴AQ=4．

∵QD∥OC，

∴，

∴，

∴QD=，AD=．

①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，

设AE=x，则EQ=x，DE=AD-AE=|-x|，

∴在Rt△EDQ中，（-x）2+（）2=x2，解得 x=，

∴OA-AE=3-=-，

∴E（-，0），

说明点E在x轴的负半轴上；

②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，

∵ED=AD=，

∴AE=，

∴OA-AE=3-=-，

∴E（-，0）．

③当AE=AQ=4时，

1．当E在A点左边时，

∵OA-AE=3-4=-1，

∴E（-1，0）．

2．当E在A点右边时，

∵OA+AE=3+4=7，

∴E（7，0）．

综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（-，0）或（-，0）或（-1，0）或（7，0）．

（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（-，-）．理由如下：

如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，

∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，

∴AP=AQ=QD=DP，

∴四边形AQDP为菱形，

∵FQ∥OC，

∴，

∴，

∴AF=t，FQ=t，

∴Q（3-t，-t），

∵DQ=AP=t，

∴D（3-t-t，-t），

∵D在二次函数y=x2-x-4上，

∴-t=（3-t）2-（3-t）-4，

∴t=，或t=0（与A重合，舍去），

∴D（-，-）．