Question

已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.

(1)如图,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；

(2)如图,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,

①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.

②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,写出与满足的数量关系式.(直接写出答案，不要求证明)

Answer

（1）证明略，（2） ①秒. ②与满足的函数关系式是

【解析】

试题（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；

（2）分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可.

试题解析：（1）证明:①∵四边形是矩形

∴∥

∴,

∵垂直平分，垂足为

∴

∴≌

∴

∴四边形为平行四边形

又∵

∴四边形为菱形

②设菱形的边长，则

在中，

解得

∴

（2）①显然当点在上时,点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形；同理点在上时，点在或上，也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形

∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,

∵点的速度为每秒10cm，点的速度为每秒6cm，运动时间为秒

∴,

∴，解得

∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.

②由题意得，以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上.

分三种情况:

i）如图1，当点在上、点在上时，,，即

ii）如图2，当点在上、点在上时，,，即

iii）如图3，当点在上、点在上时，,，即

综上所述，与满足的函数关系式是