Question

已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，连接.

（1）如图，连接，作，垂足为，求的面积和线段的长；

（2）如图，点是线段的中点，点是线段上的动点（不与点重合），求周长的最小值.

Answer

（1），；（2）最小值为.

【解析】

（1）利用30°角的性质求出OA，AB，由旋转的性质得到是等边三角形，根据勾股定理求出AC，再利用面积法可求出面积和OP的值；

（2）如图2，连接BM，AM，根据等边三角形的性质得到BM⊥OC，根据全等三角形的性质得到BM=AB，AO=OM，得到AM被BD垂直平分，即M关于直线BO的对称点为A，连接AC，则C△CMN=AC+MC，于是得到结论．

【解析】
（1）∵，，

∴，，

由旋转性质可知：，，∴是等边三角形，

∴；

∴，，

∴，

∴，

∴；

（2）如图2，连接、，

∵为中点，为等边三角形，∴，

在中，，，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，，

∴，在的中垂线上，

∴被垂直平分，

即关于直线的对称点为，

连接，交于点，则此时的周长最小，且，

∵是的中点，

∴，

∴的最小值为.