Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）BC=，AD=．

【解析】

（1）连接OE，由OB=OE知∠OBE=∠OEB、由BE平分∠ABC知∠OBE=∠CBE，据此得∠OEB=∠CBE，从而得出OE∥BC，进一步即可得证；

（2）证△BDE∽△BEC得，据此可求得BC的长度，再证△AOE∽△ABC得，据此可得AD的长．

（1）如图，连接OE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵BE平分∠ABC，

∴∠OBE=∠CBE，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC，

又∵∠C=90°，

∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，

∴AC为⊙O的切线；

（2）∵ED⊥BE，

∴∠BED=∠C=90°，

又∵∠DBE=∠EBC，

∴△BDE∽△BEC，

∴，即，

∴BC=；

∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，

∴△AOE∽△ABC，

∴，即，

解得：AD=．