Question

如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x²+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．

【解析】

（1）先根据已知求点A的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①先得AB的解析式为：y=-2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），根据PE=DE，列方程可得P的坐标；
②先设点M的坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM的长，分三种情况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M的坐标．

【解析】
（1）∵B（1，0），∴OB=1，

∵OC=2OB=2，∴C（﹣2，0），

Rt△ABC中，tan∠ABC=2，

∴， ∴， ∴AC=6，

∴A（﹣2，6），

把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；

（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），

∴AB的解析式为：y=﹣2x+2，

设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），

∵PE=DE，

∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2），

∴x=-1或1（舍），

∴P（﹣1，6）；

②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），

设M（﹣1，y），

∵B（1，0），A（﹣2，6）

∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，

BM2=（1+1）2+y2=4+y2，

AB2=（1+2）2+62=45，

分三种情况：

i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，

∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，

解得：y=3，

∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；

ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，

∴45+4+y2=1+（y﹣6）2， ∴y=﹣1，

∴M（﹣1，﹣1），

iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，

∴1+（y﹣6）2+45=4+y2， ∴y=，

∴M（﹣1，）；

综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．