Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB=AC，∠BAC=90°，则m=______．

Answer

3

【解析】

设直线l与对称轴的交点为点D，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD，根据韦达定理可表示出x1+x2与x1x2，进而表示出BC的长度和BD的长度，根据BD=AD可列出方程求出m的值.

设直线l与对称轴的交点为点D，则根据等腰直角三角形的性质可得BD=AD，抛物线的顶点坐标为A（3，-1），

由题意得直线l的表达式为直线y=m，

当y=m时，可得方程

原方程整理可得，

由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，x1x2=，

（x1-x2）2=（x1+x2）2-4 x1x2=36-20+16m=16+16m

∵直线l与抛物线交于点B和点C，

故m＞-1，

∵BC2=16+16m，AD=m+1,BD==AD,

∴BC=2AD，BC2=4AD2，

16+16m =4（m+1）2

整理得，m2-2m-3=0

解得m=3或m=-1（舍去）

即m=3.

故答案为：3.