Question

如图，Rt⊿ABC中，∠C=90º，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=6，OC=，则直角边BC的长为______.

Answer

8

【解析】

过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，只要证明△AOM和△BOF全等推出AM=OF，OM=FB，根据题意得出四边形ACFM为矩形，从而得出AM=CF=6，OF=CF，得出△OCF为等腰直角三角形，根据OC=得出 CF=OF=7，根据FB=OM=OF－FM求出FB的值，最后根据BC=CF+BF得出答案．

过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF， ∵四边形ABDE为正方形，

∴∠AOB=90°，OA=OB， ∴∠AOM+∠BOF=90°，

又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°， ∴∠BOF=∠OAM，

在△AOM和△BOF中， ∠AMO=∠OFB=90°∠OAM=∠BOF,OA=OB，

∴△AOM≌△BOF（AAS）， ∴AM=OF，OM=FB， 又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，

∴四边形ACFM为矩形， ∴AM=CF，AC=MF=6， ∴OF=CF，

∴△OCF为等腰直角三角形， ∵OC=， ∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，

解得：CF=OF=7， ∴FB=OM=OF－FM=7－6=1， 则BC=CF+BF=7+1=8．