Question

如图，过点C(2，1)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+4于B、A两点，若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过坐标原点O，且顶点在矩形ADBC内(包括边上)，则a的取值范围是___．

Answer

【解析】

由过点C（2，1）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+4于B、A两点，即可求得点A与B的坐标，继而求得点D的坐标，又由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，且顶点在矩形ADBC内（包括三边上），可得a＜0，然后由|a|越大，开口越小，可得当顶点在顶点在AC上时，a最小，当顶点在顶点在BD上时，a最大，继而求得答案．

∵过点C（2，1）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+4于B、A两点，

∴点A（2，2），点B（3，1），

∵四边形ABCD是矩形，

∴D（3，2），

∵二次函数顶点y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，且在矩形ADBC内（包括三边上），

∴a＜0，

∵|a|越大，开口越小，

即a越小，开口越小，

∴当顶点在AC上时，a最小，

设此时顶点坐标为（2，m），且1≤m≤2，

则二次函数的解析式为：y=a（x-2）2+m，

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，

∴a（0-2）2+m=0，

解得：a=-，

∴当m=2时，a最小，a=-，

∴当顶点在顶点在BD上时，a最大，

设此时顶点坐标为（3，n），且1≤n≤2，

则二次函数的解析式为：y=a（x-3）2+n，

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，

∴a（0-3）2+n=0，

解得：a=-，

∴当n=1时，a最大，a=-，

∴a的取值范围是：-≤a≤-．

故答案为：-≤a≤-．