Question

如图，点 O 是等边△ABC 内一点，∠AOB＝105°，∠BOC 等于α，将△BOC 绕点 C 按 顺时针方向旋转 60°得△ADC，连接 OD.

（1）求证：△COD 是等边三角形．

（2）求∠OAD 的度数．

（3）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？

Answer

（1）证明见解析；（2）45°；（3）105°，127.5°或 150°.

【解析】（1）由旋转的性质得到△BCO≌△ACD， 再由全等三角形对应边相等得到OC＝CD，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；

（2）由等边三角形的性质、三角形内角和定理以及旋转的性质即可得出结论．

（3）若△AOD 是等腰三角形 ，分三种情况讨论即可．

（1）∵△BOC 旋转 60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，

∴OC＝CD，且∠OCD＝60°，则△OCD 是等边三角形；

（2）∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAO＋∠OAC＝60°，∠ABO＋∠OBC＝60°．

∵∠AOB＝105°，∴∠BAO＋∠ABO＝75°，∴∠OAC＋∠OBC＝120°﹣105°＝45°．

∵△BOC 旋转 60°得到△ADC，∴△BCO≌△ACD，

∴∠DAC＝∠OBC ，∴∠OAD＝∠OAC＋∠CAD＝45°．

（3）若△AOD 是等腰三角形 ．∵由（1）知△OCD 是等边三角形，∴∠COD＝60°．

由（2）知∠OAD＝45°， 分三种情况讨论：

①当 OA＝OD 时，∠AOD＝90°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣90°＝105°；

②当 OA＝AD 时，∠AOD＝67.5°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣67.5°＝127.5°；

③当 AD＝OD 时，∠AOD＝45°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣45°＝150°．

综上所述：当α＝105°，127.5°或 150°时，△AOD 是等腰三角形 ．