Question

如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝2，P为线段AB上一动点，且不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AD于点E，将∠A沿PE折叠，点A落在直线AB上点F处，连接DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长是_____．

Answer

或1或1+或

【解析】

如图1，当DF＝CD时，有一个解，如图2，当CF＝CD＝2时，有两个解，如图3中，当FD＝FC时有一个解，根据折叠变换的性质和直角三角形的性质分别求出即可．

【解析】
如图1，当DF＝CD时，点F与A重合或在点F′处．

∵在菱形ABCD中，AB＝2，

∴CD＝AD＝2，

作DN⊥AB于N，

由折叠的性质得：此时点P与N重合，

在Rt△ADN中，∵AD＝2，∠DAN＝45°，DN＝AN＝NF′＝，

∴AP＝；

如图2，当CF＝CD＝2时，点F与B重合或在F′处，

∵点F与B重合，

∴PE是AB的垂直平分线，

∴AP＝AB＝1；

点F落在F'处时，AF'＝2+2，

∴AP＝AF'＝1+；

如图3中，当FD＝FC时，

AF＝+1，

∴AP＝AF＝．

综上所述：当△CDF为等腰三角形时，AP的长为或1或1+或.

故答案为：或1或1+或