Question

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是的中点，过点D作⊙O的切线，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD．

(1)求证：AF⊥EF．

(2)直接回答：

①已知AB＝2，当BE为何值时，AC＝CF？

②连接BD、CD、OC，当∠E等于多少度时，四边形OBDC是菱形？

Answer

(1)证明见解析；(2)①当BE＝2时，AC＝CF；②当∠E＝30°时，四边形OBDC是菱形．

【解析】

(1)连接OD，由点D是弧BC的中点，过点D作⊙O的切线，可得OD⊥EF，AF∥OD，进而得出AF⊥EF；

(2)①当BE＝2时，连接BC，证明△ACB∽△AFE，所以，即AC＝CF；

②当∠E＝30°时，证明△ODB，△AOC，△COD为等边三角形，所以OB＝BD＝OD＝CD＝OC，即四边形OBDC是菱形．

【解析】
(1)如图1，连接OD，

∵点D是弧BC的中点，过点D作⊙O的切线，

∴OD⊥EF，∠CAD＝∠DAB，

∵OD＝OA，

∴∠DAB＝∠ADO，

∴∠CAD＝∠ADO，

∴AF∥OD，

∴AF⊥EF．

(2)①当BE＝2时，AC＝CF．

如图2，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵AF⊥EF，

∴∠ACB＝∠F＝90°，

∴BC∥EF，

∴△ACB∽△AFE，

∴，

∴AC＝CF．

②当∠E＝30°时，四边形OBDC是菱形．

如图3，∵过点D作⊙O的切线，

∴∠ODE＝∠F＝90°，

∴∠DOE＝∠CAO＝60°，

∵OD＝OB＝OC＝OA，

∴△ODB，△AOC为等边三角形，

∴∠COA＝∠DOB＝60°，

∴∠COD＝60°，

∴△COD为等边三角形，

∴OB＝BD＝OD＝CD＝OC，

∴四边形OBDC是菱形．