Question

(1)问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE和AF数量关系_____．

(2)类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α(0°＜α≤360°)，则(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

(3)解决问题：若BC＝DF＝2，在(2)的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．

Answer

(1)BE＝AF；(2)成立；(3)AE的最大值为3．

【解析】

(1)根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质得出AD＝BD，DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，证明△BDE≌△ADF，即可得出结论；

(2)根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质得出AD＝BD，DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，证明△BDE≌△ADF，即可得出结论；注意两种情况讨论；

(3)当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE，求出DE的长，即可得出结果．

【解析】
(1)∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，

∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，

∵四边形DFGE是正方形，

∴DE＝DF，∠EDF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF＝90°，

在△BDE和△ADF中， ，

∴△BDE≌△ADF(SAS)，

∴BE＝AF

故答案为：BE＝AF；

(2)成立；理由如下：

当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，

∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，

∴AD＝BD，AD⊥BC，

∴∠ADE+∠EDB＝90°，

∵四边形DFGE为正方形，

∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，

∴∠ADE+∠ADF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中，，

∴△BDE≌△ADF(SAS)，

∴BE＝AF；

当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：

∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中，，

∴△BDE≌△ADF(SAS)，

∴BE＝AF；

综上所述，(1)中的结论BE＝AF成立；

(3)在△ADE中，∵AE＜AD+DE，

∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：

则AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，

∴AE＝AD+DE＝3，

即AE的最大值为3．