Question

（1）如图，正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连结，.求证：.

（2）如图，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，若，，求的长.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）证△ADG≌△ABE，△FAE≌△FAG，根据全等三角形的性质求出即可；

（2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．

（1）证明：在正方形中，，，

在和中，，

，

，，

，

在和中，，

，

；

（2）如图，过点作，垂足为点，截取，使.连接、，

，，，

，.

在和中，

，

，

，，

，，

，

于是，由，得，

在和中，

，

，

，

在中，由勾股定理，得，

，

,，

，

.