Question

如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证：BF=2AE；

（2）若CD=，求AD的长．

Answer

（1）见解析 （2）2+

【解析】

试题（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF，从而得证。

（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解。

【解析】
（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形。∴AD=BD。

∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°。∴∠CAD=∠CBE。

在△ADC和△BDF中，∠CAD=∠CBF，AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°，

∴△ADC≌△BDF（ASA）。∴BF=AC。

∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE。∴BF=2AE。

（2）∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=。

在Rt△CDF中，。

∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=2。

∴AD=AF+DF=2+。