Question

对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：

第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；

第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；

第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2.

求证：(1)∠ABE＝30°；

(2)四边形BFB′E为菱形．

      

        图1                        图2

Answer

(1)30°；(2)见解析

【解析】

（1）由折叠的性质易得：∠ABE=∠A′BE，M是AB的中点，A′是EF的中点，∠EA′B=∠A=90°，由此可得BA′是EF的垂直平分线，从而可得BE=BF，由此可得∠A′BE＝∠A′BF，从而可得∠ABE＝∠A′BE＝∠A′BF，这样结合∠ABC=90°即可得到∠ABE＝∠ABC＝30°；

（2）由已知条件结合折叠的性质可得：BE＝B′E，BF＝B′F，这样结合（1）中所得BE=BF即可得到四边形BFB′E的四边相等，由此即可得到四边形BFB′E是菱形.

(1)∵对折使AD与BC重合，折痕是MN，

∴M是AB的中点，

∴A′是EF的中点．

∵∠BA′E＝∠A＝90°，

∴BA′垂直平分EF，

∴BE＝BF，

∴∠A′BE＝∠A′BF.

由翻折的性质，知∠ABE＝∠A′BE，

∴∠ABE＝∠A′BE＝∠A′BF，

∴∠ABE＝∠ABC＝×90°＝30°；

(2)∵沿EA′所在的直线折叠，

点B落在AD上的点B′处，

∴BE＝B′E，BF＝B′F.

∵BE＝BF，

∴BE＝B′E＝B′F＝BF，

∴四边形BFB′E为菱形．