Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为边AD上一动点，连接BP，把△ABP沿BP折叠，使A落在A′处，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为（    ）

A. 2 B.  C. 2或 D. 2或

Answer

C

【解析】

根据△A′DC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意．

①如图，当A′D=A′C时，过A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF垂直平分AB

∴A'A=A'B

由折叠得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP

∴△ABA'是等边三角形

∴∠ABP=30°

∴AP=；

②如图，当A'D=DC时，A'D=2

由折叠得，A'B=AB=2

∴A'B+A'D=2+2=4

连接BD，则Rt△ABD中，BD=

∴A'B+A'D＜BD（不合题意）

故这种情况不存在；

③如图，当CD=CA'时，CA'=2

由折叠得，A'B=AB=2

∴A'B+A'C=2+2=4

∴点A'落在BC上的中点处

此时，∠ABP=∠ABA'=45°

∴AP=AB=2．

综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为或2．

故选C.