Question

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图）．

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图），则PC的长为         ；

（2）将直角尺从如图中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，从开始到停止，线段EF的中点所经过的路径（线段）长为        ．

Answer

（1）2；（2）

【解析】

（1）如图2，先利用勾股定理计算出PB=2，再证明△APB∽△DCP，然后利用相似比可计算出PC；

（2）设线段EF的中点为O，连接OP，OB，如图1，利用直角三角形斜边上的中线性质得OP=OB=EF，则利用线段垂直平分线定理的逆定理可得O点在线段BP的垂直平分线上，再确定旋转开始和停止时EF的中点位置，然后根据三角形中位线性质确定线段EF的中点所经过的路径（线段）长．

（1）如图2，

在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∵AP=1，AB=，

∴PB==2，

∵∠ABP+∠APB=90°，∠BPC=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∴∠ABP=∠DPC，

∴△APB∽△DCP，

∴AP：CD=PB：CP，即1：=2：PC，

∴PC=2，

（2）设线段EF的中点为O，连接OP，OB，如图1，

在Rt△EPF中，OP=EF，

在Rt△EBF中，OB=EF，

∴OP=OB，

∴O点在线段BP的垂直平分线上，

如图2，当点E与点B重合时，点F与点C重合时，EF的中点为BC的中点O，

当点E与点，A重合时，EF的中点为PB的中点O，

∴OO′为△PBC的中位线，

∴OO′=PC=，

∴线段EF的中点经过的路线长为．