Question

如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，顶点B的坐标为（n，2），点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BAD沿BD翻折，点A刚好落在BC边上的F处，BD、EF交于点P

（1）直接写出点E、F的坐标；

（2）若OD=1，求P点的坐标；

（3）动点Q从P点出发，依次经过F，y轴上的点M，x轴上的点N，然后返回到P点：

①若要使Q点运动一周的路径最短，试确定M、N的位置；

②若n=3，求最短路径的四边形PFMN的周长．

Answer

（1）E（n，1）；F（n-2，2）；（2）点P坐标为（，）；（3）①见解析，②+．

【解析】

（1）由翻折知四边形ABFD是正方形，据此得DF=AB=AD=2、OD=CF=BC-BF=n-2，即可得出点F坐标，由E为AB中点可得点E的坐标；

（2）OD=1知n=3，据此得出点B、D、E、F的坐标，分别求得直线BD和直线EF的解析式，联立方程组即可求得BD与EF的交点P的坐标；

（3）①作点F关于y轴的对称点F′、作点P关于x轴的对称点P′，连接F′P′交y轴于点M、交x轴于点N；

②由n=3结合（2）知点P、F及其关于坐标轴的对称点，利用勾股定理求解可得．

（1）∵B（n，2），

∴AB=OC=2、OA=BC=n，

由翻折知△DAB≌△DFB，

∴∠DAB=∠DFB=90°、BA=BF=2，

∵∠ABF=90°，

∴四边形ABFD是正方形，

∴DF=AB=AD=2，

∴OD=CF=BC-BF=n-2，

则F（n-2，2），

∵E为AB中点，

∴AE=BE=1，

∴E（n，1）；

（2）若OD=1，则n-2=1，即n=3，

∴B（3，2）、D（1，0）、E（3，1）、F（1，2），

设BD所在直线解析式为y=kx+b，

将点B（3，2）、D（1，0）代入，得：

，

解得：，

∴BD所在直线解析式为y=x-1；

设EF所在直线解析式为y=mx+n，

将E（3，1）、F（1，2）代入，得：，

解得：，

∴EF所在直线解析式为y=-x+；

由可得，

所以点P坐标为（，）；

（3）①如图所示，作点F关于y轴的对称点F′、作点P关于x轴的对称点P′，连接F′P′交y轴于点M、交x轴于点N，

②若n=3，由（2）知P（，）、F（1，2），

则F′（-1，2）、P′（，-），

∴PF=＝，P′F′=＝，

∴C四边形PFMN=+．