Question

如图，△ABC与 △ADE中，∠ACB=∠AED=90°，连接BD、CE，∠EAC=∠DAB.

（1）求证：△ABC ∽△ADE；

（2）求证：△BAD ∽△CAE；

（3）已知BC=4，AC=3，AE=．将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，求 BD的长．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD=．

【解析】

（1）由已知可得∠CAB=∠EAD，∠ACB=∠AED=90°，则结论得证；

（2）由（1）知，∠EAC=∠DAB，则结论得证；

（3）先证△ABC∽△ADE，求出AE、AD的长，则BD可求．

证明：（1）∵∠EAC=∠DAB，

∴∠CAB=∠EAD，

∵∠ACB=∠AED=90°，

∴△ABC∽△ADE；

（2）由（1）知△ABC∽△ADE，

∴，

∵∠EAC=∠BAD，

∴△BAD∽△CAE；

（3）∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3，

∴AB==5，

∵△ABC∽△ADE，

∴，

∴AD=，

如图，将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，∠AEC=∠ADB=90°，

∴BD=．