Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）点A的坐标为_____，点C的坐标为______；

（2）如图，点M在抛物线位于A、C两点间的部分（与A、C两点不重合），过点M作PM⊥AC，与x轴正半轴交于点P，连接PC，过点M作MN平行于x轴，交PC于点N．

①若点N为PC的中点，求出PM的长；

②当MN=NP时，求PC的长以及点M的坐标．

Answer

（1），；（2）①，②PC＝5，点的坐标为

【解析】

（1）在抛物线的解析式中，分别令y=0和x=0，即可得出结论．

（2）设直线MN与y轴相交于点E．过M作MF⊥x轴，垂足为F．

①由N是CP的中点，MN平行于x轴，得到E为CO的中点，从而得出MF =2，令抛物线解析式中y=2，解方程即可得出M的坐标，易求直线AC的解析式为y=2x+4，，由MP⊥AC，可设直线MP为，把M的坐标代入得到b的值，从而得到直线MP的解析式，进而求出P的坐标，根据两点间的距离公式即可求出PM的值．

②设AC交MP于G．由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠NPM=∠MPA，进而得到△APG≌△CPG，根据全等三角形的性质得到AG=GC，AP=PC．设P（x，0），根据两点间的距离公式列方程，求出x的值，可得P的坐标，得到PC=PA=5．再由中点坐标公式得到G的坐标．求出直线PG的解析式，和抛物线的解析式联立组成方程组，解方程组即可得到M的坐标．

（1）在中，令y=0，得：，解得：x=－2或x=4，∴A（－2，0），B（4，0）．令x=0，得：y=4，∴C（0，4）．

（2）直线MN与y轴相交于点E．过M作MF⊥x轴，垂足为F．

①∵N是CP的中点，MN平行于x轴，∴E为CO的中点，∴MF=OE=CO=2，∴，解得：x=或x=（舍去），∴M（，2），易求直线AC的解析式为y=2x+4．

∵MP⊥AC，∴直线MP为，把M（，2）代入得：b=，∴直线MP的解析式为：，令y=0，得：x=，∴P（，0），∴PM=．

②设AC交MP于G．

∵MN∥AB，∴∠NMP=∠MPA．

∵MN=NP，∴∠NMP=∠NPM，∴∠NPM=∠MPA．

∵PG=PG，∠PGA=∠PGC=90°，∴△APG≌△CPG，∴AG=GC，AP=PC．设P（x，0），∴，解得：x=3，∴P（3，0），∴PC=PA=3+2=5．

∵AG=GC，∴G为AC的中点，∴G（－1，2）．

设直线PG为y=kx+b，∴，解得： ，∴直线PG为．解方程组：，得： 或（舍去），∴点M的坐标为．