Question

如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5，∠DAB=45°，则①点C到直线AB的距离是_____.②△OEF周长的最小值是________． 

Answer

5

【解析】

①过D作DP⊥AB于P,,则△ADP是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到,进而求得AP=DP=5；

②作点O关于AB的对称点M,点O关于AD的对称点N,连接MN交AB于F交AD于E,则△OEF周长的最小, △OEF周长的最小值=MN,由作图得: AN=AO=AM, ∠NAD=∠DAO, ∠MAB=∠BAO,于是得到.根据三角形的中位线的性质得到,,根据勾股定理得到,然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

①过D作DP⊥AB于P,
则A△DP是等腰直角三角形,
,

,

∴AP=DP=sin45°×5=5；

②作点O关于AB的对称点M,点O关于AD的对称点N,连接MN交AB于F交AD于E,则△OEF周长的最小, △OEF周长的最小值=MN,

由作图得:AN=AO=AM, ∠NAD=∠DAO, ∠MAB=∠BAO,

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,

∵OM⊥AB于Q,

,

,

,

,

,

,
,

,

∴△OEF周长的最小值是.
故答案为：①5；② .