Question

如图，在□ABCD中，E为BC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长DC，交FE的延长线于点G，连结DF，已知∠FDG＝45°．

（1）求证：GD＝GF；

（2）已知BC＝10，DF＝8，求CD的长．

Answer

（1）证明见解析；

（2）CD长为5

【解析】

试题（1）由ABCD是平行四边形得：AB∥CD，又因为EF⊥AB，所以∠ DGF=∠GFB=90°，在△DGF中，求得∠FDG=∠DFG＝45° ，再根据等角对等边得到GD＝GF；

（2）由 且 得：GF＝8，又由 BC=10 ，点E 是BC中点，则CE=5，由ABCD是平行四边形 得： ∠ GCE=∠EBF，则△EBF≌△ECG，所以GE=4 ，在在 Rt△CGE 中 所以CG=3， CD=8-3=5；

试题解析：

（1）证明:

∵EF⊥AB,

∴∠GFB=90°

∵ABCD是平行四边形

∴AB∥CD, ∠ DGF=∠GFB=90°

在△DGF中，已知∠FDG=45°

∴∠DFG=45°

∴∠FDG=∠DFG

∴GD=GF

(2)【解析】
由（1）得 又

∴

∴GF=8

∵ BC=10 ，点E 是BC中点

∴CE=5

∵ABCD是平行四边形

∴ ∠ GCE=∠EBF

在△EBF和△ECG中

∠ EFB=∠ECG=90°

CE=EB=5

∴△EBF≌△ECG

∴GE=4

在 Rt△CGE 中

∴CG=3

∴CD=8-3=5