Question

如图直角坐标系中直线 AB 与 x 轴正半轴、y 轴正半轴交于 A，B 两点，已知 B(0，4)，∠BAO=30°，P，Q 分别是线段 OB，AB 上的两个动点，P 从 O 出发以每秒 3 个单位长度的速度向终点 B 运动，Q 从 B 出发以每秒 8 个单位长度的速度向终点 A 运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为 t（秒）．

(1)求线段 AB 的长，及点 A 的坐标；

(2)t 为何值时，△BPQ 的面积为；

(3)若 C 为 OA 的中点，连接 QC，QP，以 QC，QP 为邻边作平行四边形 PQCD，

①t 为何值时，点 D 恰好落在坐标轴上；

②是否存在时间 t 使 x 轴恰好将平行四边形 PQCD 的面积分成 1∶3 的两部分，若存在，直接写出 t 的值．

Answer

； （2）1或；(3)①或；②.

【解析】

由30°角的性质求出AB的长，由勾股定理求出OA的长，进而可求出点A的坐标；

（2）由运动知，OP＝3t，BQ＝8t，BP＝4−3t，过点Q作QH⊥OB于H，由勾股定理求出HQ的长，然后利用三角形的面积公式求解即可；

（3）①当点D在y轴上时，QC∥PD，利用三角形的中位线求解即可；当点D在x轴上时，PQ∥AD，利用sin∠BQP＝求解即可；

②如图 ，连接PC，过点Q作QH⊥OB于H，过点D作DF⊥OA于F，由平行四边形的性质知S△CPQ＝S△PCD，由x轴恰好将平行四边形PQCD的面积分成1：3的两部分，可得S△PCE＝S△DCE，可证DF＝OP＝3t，然后证明延长DF，PQ相交于M，延长HQ交DM于N，然后证明△CDF≌△QPH，可得PH＝DF＝3t，利用4t＋3t＋3t＝4即可求出t的值.

【解析】
（1）∵B（0，4），

∴OB＝4，

在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，

∴AB＝2OB＝8，BC＝OB＝4，

∴A（4，0）.

（2）如图1，

由运动知，OP＝3t，BQ＝8t，

∴BP＝4−3t，

过点Q作QH⊥OB于H，

∴HQ＝4t，

∵△BPQ的面积为2，

∴（4−3t）×4t

＝2，

∴t＝1或t＝.

（3）①当点D在y轴上时，QC∥PD，

∵C是OA中点，

∴BQ＝AB＝4，

∴8t＝4，

∴t＝，

当点D在x轴上时，

∵PQ∥AD，

∴∠BPQ＝90°，

∴sin∠BQP＝ ，

∴，

∴t＝，

②如图 ，连接PC，过点Q作QH⊥OB于H，过点D作DF⊥OA于F，

∵四边形CDPQ是平行四边形，

∴S△CPQ＝S△PCD，

∵x轴恰好将平行四边形PQCD的面积分成1：3的两部分，

∴S△PCE＝S△DCE，

∴点E是DP的中点，

易知，DF＝OP＝3t，

延长DF，PQ相交于M，延长HQ交DM于N，

∵CD∥PQ，

∴∠M＝∠CDF，∠M＝∠HPQ，

∴∠CDF＝∠HPQ，

∵CD＝PQ，

∴△CDF≌△QPH，

∴PH＝DF＝3t，

∵BH＝BQ＝4t，

∴4t＋3t＋3t＝4，

∴t＝．