Question

如图,在△ABC中,已知∠BAC=45⁰，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长。某同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。请按照这位同学的思路，探究并解答下列问题：

（1）分别以AB，AC为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC交于点G，证明四边形AEGF是正方形；

（2）设AD=x，建立关于x的方程模型，求出AD的值。

Answer

（1）见解析；（2）AD=6.

【解析】

（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根据∠E=∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°判定四边形AEGF是矩形， 最后由AE=AF从而说明矩形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程（x-2）2+（x-3）2=52，求出AD=x=6．

(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF.

∴∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC,又∠BAC=45°，

∴∠EAF=90°.

又∵AD⊥BC，

∴∠E=∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°.

∴四边形AEGF是矩形，

又∵AE=AD，AF=AD

∴AE=AF.

∴矩形AEGF是正方形.

(2)设AD=x，则AE=EG=GF=x.

∵BD=2，DC=3

∴BE=2，CF=3

∴BG=x−2，CG=x−3

在Rt△BGC中,BG2+CG2=BC2，

∴(x−2)2+(x−3)2=52.

化简得,x2−5x−6=0

解得x1=6,x2=−1(舍去)

所以AD=x=6.