Question

如图，直线AB∥CD，点P在两平行直线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE、PF。

（1）∠PEB、∠PFD、∠EPF满足什么数量关系？请说明理由。

（2）如果点P在两平行线外时，试探究∠PEB、∠PFD、∠EPF之间的数量关系。（不需说明理由）

Answer

(1) ∠EPF=∠PEB+∠PFD; (2) ∠PFD=∠PEB+∠EPF；∠PEB=∠PFD+∠EPF.

【解析】

（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；（2）若点P在直线AB上方时，过P作AB的平行线，同理依据两直线平行，内错角相等即可证得；若点P在直线AB下方时，过P作AB的平行线，同理依据两直线平行，内错角相等即可证得.

【解析】
（1）∠PEB，∠PFD，∠P满足的数量关系是∠EPF=∠PEB+∠PFD；
理由如下：如图1，过点P作PH∥AB∥CD

∴∠PEB=∠EPH，∠PFD=∠FPH
而∠EPF=∠EPH+∠FPH
∴∠EPF=∠PEB+∠PFD；

（2）如图2，若点P在直线AB上方时，
∠PEB，∠PFD，∠P满足的数量关系是∠PFD=∠PFB+∠EPF；

理由：过点P作PH∥AB∥CD
∴∠FPH=∠PFD=∠PMB
而∠PMB=∠PFB+∠EPF∴∠PFD=∠PFB+∠EPF；

如图3，若点P在直线AB下方时，
∠PEB，∠PFD，∠P满足的数量关系是∠PEB=∠PFD+∠EPF；

理由: 过点P作PH∥AB∥CD
∴∠PEB=∠EPH=∠DMP，而∠DMP=∠PFD+∠EPF.

∴∠PEB=∠PFD+∠EPF；