Question

如图，内接于，是的直径，过作射线交的延长线于点，且.

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长；

（3）求证：.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）连结，根据直径对的圆周角是直角，得到，即，根据同弧的圆周角相等得到，，即，即可证明.

（2）证明.根据相似三角形的性质得到即，即可求解.

（3）由（2）知：，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到①，根据与同高，得到②，即可证明.

证明：（1）连结，

∵是的直径，∴，即，

又∵，（同弧的圆周角相等），

∴，

∴，即过半径外端点，且与半径垂直，

∴是的切线；

（2）在和中，∵，公共，∴.

∴，∴ 即：，

解得：，或（舍去）；

（3）由（2）知：，①

又∵与同高，②

∴