Question

如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且.

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）判断的形状，证明你的结论；

（3）点是轴上的一个动点，当的值最小时，求的值.

Answer

（1），顶点的坐标为；（2）为直角三角形，理由见解析；（3）

【解析】

（1）把点代入解析式，求出b，利用配方法求出抛物线的顶点坐标；
（2）当时，，，即.，求出，根据勾股定理求出AC、BC，根据勾股定理的逆定理判断即可；
（3）作出点关于轴的对称点，则，连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，的值最小，求出直线的解析式即可求解.

【解析】
（1）∵点在抛物线上，∴，解得

∴抛物线的解析式为，

又

∴顶点的坐标为.

（2）为，理由如下：当时，，

∴，.

当时，，

∴，∴

∴，，.

∵，，

∴.

∴是直角三角形.

（3）作出点关于轴的对称点，则，连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，的值最小，

设直线的解析式为，

则，解得，

∴.

∴当时，，

∴