Question

在中，分别是的中点，若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰，设旋转角为，记直线与的交点为

    

(1)如图，当时，线段的长等于          ,线段的长等于          ．(直接填写结果)

(2)如图，当时，求证：，且；

(3)设的中点为，则线段的长为          (直接填写结果).

Answer

(1)； ；(2)证明见解析；(3)

【解析】

(1)利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可求得答案；

(2)根据旋转的性质得出，继而证明，即可推得答案；

(3)利用直角三角形斜边中线的性质即可求得答案.

(1)∵∠BAC=90°，AC=AB=4，D、E分别是边AB、AC的最短，

∴AE=AD=2，

∵等腰绕点逆时针旋转，得到等腰，设旋转角为，

∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，

∴BD1=，CE1=，

故答案为：； ；

(2)当时，

是由绕点逆时针旋转得到，

，

在和中

，

，

，

记直线与交于点，，

；

(3)如图2，由(2)的证明可知旋转角为α时，易证得，

∴∠1=∠2，

又∵∠3=∠4，∠1+∠4+∠BAC=180°，∠2+∠3+∠BPC=180°，

∴∠CPB=∠CAB=90°，

又∵M为BC的中点，

∴PM=BC，

∴PM=，

故答案为：