Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段CD的长；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S_△CPQ：S_△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？

Answer

（1）线段CD的长为4.8；（2）①S△CPQ=﹣t2+t；②当t=秒或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100．（3）当t为2.4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．

【解析】

【解析】
(1)∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝10．

∵CD⊥AB，

∴．

∴．

∴线段CD的长为4.8．

(2)过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图①所示．

由题意知DP＝t，CQ＝t，

则CP＝4.8－t．

∵∠ACB＝∠CDB＝90°，

∴∠HCP＝90°－∠DCB＝∠B．

∵PH⊥AC，

∴∠CHP＝90°．

∴∠CHP＝∠ACB．

∴△CHP∽△BCA．

∴，

即．

∴．

∴．

存在某一时刻t，使得S△CPQ︰S△ABC＝9︰100．

理由：∵，

且S△CPQ︰S△ABC＝9︰100

∴．

整理得5t2－24t＋27＝0，

即(5t－9)(t－3)＝0．

解得或t＝3．

∵0≤t≤4.8，

∴当或t＝3时，S△CPQ︰S△ABC＝9︰100．

(3)①若CQ＝CP，

则t＝4.8－t．

解得t＝2.4．

②若PQ＝PC，如图①所示．

∵PQ＝PC，PH⊥QC，

∴．

∵△CHP∽△BCA．

∴，

即．

解得．

③若QC＝QP．

过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图②所示．

由△QEC∽△ACB，得，

即，解得．

综上所述：当t的值为2.4或或时，△CPQ为等腰三角形．