Question

    如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S_△AEF＝2S_△AMN，以上结论中，正确的个数有（　）个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer

D

【解析】

如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，所以∠ANM=∠AEB，则可求得②正确；

根据三角形的外角的性质得到①正确；

根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正确；

根据相似三角形的性质得到∠AEN=∠ABD=45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根据勾股定理得到AE＝AN，再根据相似三角形的性质得到EF＝MN，于是得到S△AEF=2S△AMN．故④正确．

如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH

由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF

∵∠EAF＝45°

∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°

∴∠EAH＝∠EAF＝45°

在△AEF和△AEH中

∴△AEF≌△AEH（SAS）

∴EH＝EF

∴∠AEB＝∠AEF

∴BE+BH＝BE+DF＝EF，

故②正确

∵∠ANM＝∠ADB+∠DAN＝45°+∠DAN，

∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（∠HAE﹣∠BAH）＝90°﹣（45°﹣∠BAH）＝45°+∠BAH

∴∠ANM＝∠AEB

∴∠ANM＝∠AEB＝∠ANM；

故③正确，

∵AC⊥BD

∴∠AOM＝∠ADF＝90°

∵∠MAO＝45°﹣∠NAO，∠DAF＝45°﹣∠NAO

∴△OAM∽△DAF

故①正确

连接NE，

∵∠MAN＝∠MBE＝45°，∠AMN＝∠BME

∴△AMN∽△BME

∴

∴

∵∠AMB＝∠EMN

∴△AMB∽△NME

∴∠AEN＝∠ABD＝45°

∵∠EAN＝45°

∴∠NAE＝NEA＝45°

∴△AEN是等腰直角三角形

∴AE＝

∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME

∴△AMN∽△AFE

∴

∴

∴

∴S△AFE＝2S△AMN

故④正确

故选D．