Question

    如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax²+bx+5与x轴交于A，点B，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于点D，过点B作BE⊥x轴，交DC延长线于点E，连接BD，交y轴于点F，直线BD的解析式为y＝﹣x+2．

（1）写出点E的坐标；抛物线的解析式．

（2）如图2，点P在线段EB上从点E向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时，点Q在线段BD上从点B向点D以个单位长度/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，当t为何值时，△PQB为直角三角形？

（3）如图3，过点B的直线BG交抛物线于点G，且tan∠ABG＝，点M为直线BG上方抛物线上一点，过点M作MH⊥BG，垂足为H，若HF＝MF，请直接写出满足条件的点M的坐标．

Answer

（1）点E坐标为（2，5），y＝﹣x2﹣+5；（2）t＝或时，△PQB为直角三角形；（3）点M坐标为（﹣4，3）或（0，5）．

【解析】

（1）由待定系数法求点坐标及函数关系式；

（2）根据题意，△DEB为等腰直角三角形，通过分类讨论∠PQB=90°或∠QPB=90°的情况求出满足条件t值；

（3）延长MF交GB于K，由∠MHK=90°，HF=MF可推得HF=FK，即F为MK中点，设出M坐标，利用中点坐标性质，表示K点坐标，代入GB解析式，可求得点M坐标．

将点D（-3，5）点B（2，0）代入y=ax2+bx+5

解得

∴抛物线解析式为：y=-x2-x+5

（2）由已知∠QBE=45°，PE=t，PB=5-t，QB=t

当∠QPB=90°时，△PQB为直角三角形．

∵∠QBE=45°

∴QB=PB

∴t＝ (5−t)

解得t=

当∠PQB=90°时，△PQB为直角三角形．

△BPQ∽△BDE

∴BQ•BD=BP•BE

∴5（5-t）=t•5

解得：t=

∴t=或时，△PQB为直角三角形．

（3）由已知tan∠ABG=，且直线GB过B点

则直线GB解析式为：y=x−1

延长MF交直线BG于点K

∵HF=MF

∴∠FMH=∠FHM

∵MH⊥BG时

∴∠FMH+∠MKH=90°

∠FHK+∠FHM=90°

∴∠FKH=∠FHK

∴HF=KF

∴F为MK中点

设点M坐标为（x，-x2-x+5）

∵F（0，2）

∴点K坐标为（-x，x2+x-1）

把K点坐标代入y=x−1

解得x1=0，x2=-4，

把x=0代入y=-x2-x+5，解得y=5，

把x=-4代入y=-x2-x+5

解得y=3

则点M坐标为（-4，3）或（0，5）．