Question

如图，在正方形中，点是上一动点(不写重合)，对角线相交于点，过点分别作的垂线，分别交于点，交于点，下列结论：①≌；②；③ ；④当 时，点是的中点，其中一定正确的结论有_______.(填上所有正确的序号)

Answer

①②④

【解析】

①根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE=∠MAE=45°，然后利用“角边角”证明△APE和△AME全等；②根据全等三角形对应边相等可得PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP，证出四边形PEOF是矩形，得出PF=OE，证得△APE为等腰直角三角形，得出AE=PE，PE+PF=OA，即可得到PM+PN=AC；③判断出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似；④证出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，从而得出结论．

①∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠DAC=45°，

∵PM⊥AC，

∴∠AEP=∠AEM=90°，

在△APE和△AME中，

∵，

，

，

∴△APE≌△AME（ASA），
故①正确；
②∵△APE≌△AME，

∴PE=EM=PM，

同理，FP=FN=NP，

∵正方形ABCD中，AC⊥BD，

又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE

∴四边形PEOF是矩形．

∴PF=OE，

∵在△APE中，∠AEP=90°，∠PAE=45°，

∴△APE为等腰直角三角形，
∴AE=PE，

∴PE+PF=OA，

又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，

∴PM+PN=AC，

故②正确；

③∵△APE≌△AME，
∴AP=AM
△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，

∴△POF与△BNF不一定相似，

故④错误；

④∵△APE≌△AME，

∴AP=AM，

∴△AMP是等腰直角三角形，

同理，△BPN是等腰直角三角形，

当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．

∴PM=PN，

又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，

∴AP=BP，即P是AB的中点，

故④正确；

故答案为①②④．