Question

如图，是半圆的直径，的平分线交半圆于和的延长线交于圆外一点，连接.

(1)求证：是等腰三角形.

(2)若，求四边形的面积.

Answer

(1)证明见解析；(2)8.

【解析】

（1）根据圆周角定理由AB是半圆的直径得∠ADB=∠ACB=90°，加上∠ABC的平分线交半圆于D，根据等腰三角形的判定得BA=BE，再根据等腰三角形的性质得AD=ED，即可得到CD为直角三角形ACE斜边上的中线，所以CD=DE=AD，因此可判断△EDC是等腰三角形；
（2）先利用BA=BE=5得到CE=EB-CB=2，利用勾股定理，在Rt△ACE中计算出AE=，在Rt△ABC中计算出AC=4，利用三角形面积公式得到S△ABE=AC•BE=10，再证明△ECD∽△EAB，利用相似的性质求出S△ECD=2，然后利用四边形ABCD的面积=S△ABE-S△ECD进行计算．．

【解析】
(1)证明：∵是半圆的直径，

∴，

∵的平分线交半圆于，

∴，

∴，

∴为直角三角形斜边上的中线，

∴，

∴是等腰三角形；

(2)∵，

∴，

在中，，

在中，，

∴，

∵，

而，

∴ ，

∴，即，

∴四边形的面积=.