Question

如图，△ABC中，AE⊥BC于E，点D在∠ABC的平分线上，AC与BD交于F，连CD，∠ACD+2∠ACB=180°，AB=2EC，BD=2，BE=3，则AF=______．

Answer

【解析】

延长AC至G，使CG=DC，构造连接△DCB≌△GCB（SAS），过A作AP∥BG交BC的延长线于P，连接AD，由M是中点、AE⊥BC，AB=2CE，BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠MCB=∠DBC=∠PBG=∠P=α，MC∥BG∥AP，从而AC=CG，BC=CP、BG=AP，由此得到△ACD是等腰三角形，由∠ACD+2∠ACB=180°进一步得到AD∥BC，AD=AP，由勾股定理计算AC、EC的长，再由平行线分线段成比例可得AF长．

【解析】
取AB中点M．连接ME、MC，

∵BD平分∠ABC，

∴设∠ABD=∠CBD=α，

∵AE⊥BC，AB=2CE，

∴ME=BM=EC，

∴∠ABC=∠MEB，∠EMC=∠CME，

∴∠ABC═∠MEB=2∠MCB=2α

∴设CE=x，则AB=2x，

延长AC至G，使CG=DC，连接BG，过A作AP∥BG交BC的延长线于P，

∵∠ACD+2∠ACB=180°，

∴∠BCD=180°-∠ACB，

∵∠BCG+∠ACB=180°，

∴∠BCD=∠BCG，

∵BC=BC，

∴△DCB≌△GCB（SAS），

∴BG=BD，

∴∠CBD=∠CBG=α，

又∵∠MCB=α

∴MC∥BG∥AP，

又∵M是AB的中点，

∴AC=CG，BC=PC,

∴△ACP≌△GCB（SAS），

∴BG=AP，AC=CD，

∴∠DAC=∠ADC，

∴2∠CAD+∠ACD=180°，

又∵∠ACD+2∠ACB=180°，

∴∠ACB=∠DAC，

∴AD∥BP

∴∠ADB =∠DBC=α，

∴AD=AB=2x，

在△ABP中，AB=2x，BE=3，CE=x，CP=（x+3），AP=，AE⊥BC，

∴，

解得：x=2，x=（舍去），

∴AB=4，BC=5，AE=，AC=，

∵，

∴，

故答案为．