Question

四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=AD，线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接AC、ED．

（1）求证：AC=DE；

（2）若DC=4，BC=6，∠DCB=30°，求AC的长．

Answer

（1）证明见解析（2）2

【解析】

试题(1)连接BD,根据等边三角形的性质以及旋转的性质,即可得到△ABC≌DBE,,进而得出AC=DE; 

(2)连接CE,根据CB=EB，∠CBE=60°，可得△BCE是等边三角形，从而∠BCE=60°，又因∠DCB=30°，,可得∠DCE=90°,再根据DC=4，BC=6=CE，运用勾股定理即可得到DE的长,进而得出AC的长.

证明：（1）如图，连接BD，

∵∠DAB=60°，AB=AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴AB=DB，∠ABD=60°，

∵线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，

∴CB=EB，∠CBE=60°，

∴∠ABC=∠DBE，

在△ABC和△DBE中，

，

∴△ABC≌△DBE（SAS），

∴AC=DE；

（2）如图，连接CE，

由CB=EB，∠CBE=60°，可得△BCE是等边三角形，

∴∠BCE=60°，

又∵∠DCB=30°，

∴∠DCE=90°，

∵DC=4，BC=6=CE，

∴Rt△DCE中，DE==2，

∴AC=2．