Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O．AC为直径，AC、BD交于E，=．

（1）求证：AD+CD=BD；

（2）过B作AD的平行线，交AC于F，求证：EA²+CF²=EF²；

（3）在（2）条件下过E，F分别作AB、BC的垂线垂足分别为G、H，连GH、BO交于M，若AG=3，S_{四边形AGMO}：S_{四边形CHMO}=8：9，求⊙O半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）延长DA至W，使AW=CD，连接WB，证△BCD和△BAW全等，得到△WBD是等腰直角三角形，然后推出结论；
（2）过B作BE的垂线BN，使BN=BE，连接NC，分别证△AEB和△CNB全等，△BFE和△BFN全等，将EA，CF，EF三条线段转化为直角三角形的三边，即可推出结论；
（3）延长GE，HF交于K，通过大量的面积法的运用，将AE，CF，EF三条线段用含相同的字母表示出来，再根据第二问的结论求出相关字母的值，再求出AB的值，进一步求出⊙O半径．

【解析】
（1）延长DA至W，使AW=CD，连接WB，

∵=，

∴∠ADB=∠CDB=45°，AB=BC，

∵四边形ABCD内接于⊙O．

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∵∠BAD+∠WAB=180°，

∴∠BCD=∠WAB，

在△BCD和△BAW中，

，

∴△BCD≌△BAW（SAS），

∴BW=BD，∠BWA=∠ADB=45°，

∴△WBD是等腰直角三角形，

∴AD+DC=DW=BD；

（2）如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，则α+β=45°，

过B作BE的垂线BN，使BN=BE，连接NC，

在△AEB和△CNB中，

，

∴△AEB≌△CNB（SAS），

∴AE=CN，

∠BCN=∠BAE=45°，

∴∠FCN=90°，

∵∠FBN=α+β=∠FBE，BE=BN，BF=BF，

∴△BFE≌△BFN，

∴EF=FN，

∵在Rt△NFC中，CF2+CN2=NF2，

∴EA2+CF2=EF2；

（3）如图3，延长GE，HF交于K，

由（2）得EA2+CF2=EF2，

∴EA2+CF2=EF2，

∴S△AGE+S△CFH=S△EFK，

∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH=S△EFK+S五边形BGEFH，

即S△ABC=S矩形BGKH，

∴S△ABC=S矩形BGKH，

∴S△GBH=S△ABO=S△CBO，

∴S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，

∵S四边形AGMO：S四边形COMH=8：9，

∴S△BMH：S△BGM=8：9，

∵BM平分∠GBH，

∴BG：BH=9：8，

设BG=9k，BH=8k，

∴CH=3+k，

∴AE=3，CF=（k+3），EF=（8k-3），

∴（3）2+[（k+3）]2=[（8k-3）]2，

整理，得7k2-6k-1=0，

解得：k1=-（舍去），k2=1，

∴AB=12，

∴AO=AB=6，

∴⊙O半径为6．