Question

如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，AO，CO分别在y轴，x轴正半轴上，若S_矩形AOCB=BO²，矩形AOCB的周长为16．

（1）求B点坐标；

（2）点D在OC延长线上，设D点横坐标为d，连BD，将直线DB绕D点逆时针方向旋转45°交AO于E，交BC于F，连EC，设△CDE面积=S，求出S与d的函数关系式并注明自变量d的取值范围；

（3）在（2）条件下，当点E在AO上时，过A作ED的平行线交CB于G，交BD于N，若BG=2CF，求S的值．

Answer

（1）B（4，4）；（2）当4＜d＜8时，S=-+6d-16，当d=8时，C、D、E在同一直线上，S=0；当d＞8时，S=d2-6d+16；（3）2.

【解析】

（1）设AO=m，AB=n，根据S矩形AOCB=BO2，矩形AOCB的周长为16，列等式解出即可；
（2）如图2，过B作ED的垂线交OD于L，交ED于K连接OK、BE和CK，证明CD=AE=d-4，表示OE的长，利用三角形面积可得S与d的函数关系式，根据绝对值的意义分情况讨论可得关系式；
（3）如图3，过A作BD的平行线交OD于R，过R作CB的平行线交DE于T，先证明四边形ABDR是平行四边形，得AB=RD=OC，再证明△ABG≌△DRT（AAS），根据CD=CR列等式：d-4=2，可得d=6，代入（2）中对应的解析式可得S的值．

【解析】
（1）设AO=m，AB=n，

∵S矩形AOCB=BO2，矩形AOCB的周长为16，

∴mn=，2m+2n=16，

∴m=n=4，

∴B（4，4）；

（2）如图2，过B作ED的垂线交OD于L，交ED于K，连接OK、BE和CK，

由旋转得：∠BDE=45°，

∴△BKD是等腰直角三角形，

∴BK=DK，

∵BK⊥DE，

∴∠BKF=∠DKL=90°，

∵∠BKF=∠FCD=90°，∠BFK=∠CFD，

∴∠FBK=∠CDF，

在△BKF和△DKL中，

∵，

∴△BKF≌△DKL（ASA），

∴KF=FL，

过K作KM⊥BC于M，作KN⊥OD于N，

∴∠NKM=∠FKL=90°，

∴∠MKF=∠NKL，

∵∠KNL=∠KMF=90°，

∴△KMF≌△KNL（AAS），

∴KM=KN，

∴∠BCK=∠KCO，

∵BC=OC，KC=KC，

∴△CKO≌△CKB（SAS），

∴OK=BK=DK，

∵KN⊥OD，

∴ON=DN，

∵KN∥AO，

∴EK=DK，

∴EB=BD，

∴∠BED=∠BDE=45°，

∴△EBD是等腰直角三角形，

易得△AEB≌△CDB（ASA），

∴AE=CD=d-4，

∴EO=|4-（d-4）|=|8-d|，

∴S=CD•OE=，

当4＜d＜8时，S=（d-4）（8-d）=-+6d-16，

当d=8时，C、D、E在同一直线上，S=0；

当d＞8时，S=（d-4）（d-8）=d2-6d+16；

（3）如图3，过A作BD的平行线交OD于R，过R作CB的平行线交DE于T，

∵AB∥RD，AR∥BD，

∴四边形ABDR是平行四边形，

∴AB=RD=OC，

∴CD=OR=AE=d-4，

∴△ABG≌△DRT（AAS），

∴BG=TR=2CF，

∴OR=CR，

∴d-4=2，d=6，

代入S=-×62+6×6-16=2．