Question

如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC=∠AED=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD=2BE；③MP•MD=MA•ME；④2CB²=CP•CM．其中正确的是（　　）

A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①③④

Answer

D

【解析】

①求出∠CAM=∠DEM=90°，根据相似三角形的判定推出即可；

②求出△BAE∽△CAD，得出比例式，把AC=AB代入，即可求出答案；

③通过等积式倒推可知，证明△PME∽△AMD即可；

④2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．

∵在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠AED=90°，

∴∠BAC=45°，∠EAD=45°，

∴∠CAE=180°-45°-45°=90°，

即∠CAM=∠DEM=90°，

∵∠CMA=∠DME，

∴△CAM∽△DEM，故①正确；

由已知：AC=AB，AD=AE，

∴，

∵∠BAC=∠EAD

∴∠BAE=∠CAD

∴△BAE∽△CAD，

∴，即，即CD=BE，故②错误；

∵△BAE∽△CAD

∴∠BEA=∠CDA

∵∠PME=∠AMD

∴△PME∽△AMD

∴，

∴MP•MD=MA•ME，故③正确；

由②MP•MD=MA•ME

∠PMA=∠DME

∴△PMA∽△EMD

∴∠APD=∠AED=90°

∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°

∴△CAP∽△CMA

∴AC2=CP•CM

∵AC=AB，

∴2CB2=CP•CM，故④正确；

即正确的为：①③④，

故选D．